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目次

第1章 素数の列(1)

  1.1整数の整除

  1.2素数

  1.3整数論の基本定理

  1.4素数の列

  1.5素数についての問題

  1.6いくつかの記号

  1.7対数関数

  1.8素数定理

第2章 素数の列(2)

  2.1ユークリッドの第2定理の証明

  2.2ユークリッドの論法からさらに推論されること

  2.3ある等差数列における素数

  2.4ユークリッドの定理の第2の証明

  2.5フェルマー数とメルセンヌ数

  2.6ユークリッドの定理の第3の証明

  2.7素数公式に関する他の結果

  2.8素数に関する未解決問題

  2.9整除の法

  2.10整数論の基本定理の証明

  2.11基本定理の別証明

第3章 ファレイ数列とミンコフスキーの定理

  3.1ファレイ数列の定義ともっとも簡単な性質

  3.22つの特徴的な性質の同値性

  3.3定理28と定理29の第1の証明

  3.4定理の第2の証明

  3.5格子

  3.6基本格子の簡単な性質

  3.7定理28よび定理29の第3の証明

  3.8連続体のファレイ分割

  3.9ミンコフスキーの定理

  3.10ミンコフスキーの定理の証明

  3.11定理37の発展

第4章 無理数

  4.1概要

  4.2無理数であることが知られている数

  4.3ピュタゴラスの定理とその一般化

  4.4定理43-45の証明への基本定理の利用

  4.5歴史的な余談

  4.6[ルート5]が無理数であることの幾何学的証明

  4.7その他の無理数

第5章 合同式と剰余

  5.1最大公約数と最小公倍数

  5.2合同式と剰余類

  5.3合同式の基本的性質

  5.41次合同式

  5.5オイラーの関数φ(m)

  5.6定理59と61の三角和への応用

  5.7一般的な定理

  5.8正17角形の作図

第6章 フェルマーの定理とその帰結

  6.1フェルマーの定理

  6.22項係数の性質

  6.3定理72の第2の証明

  6.4定理22の証明

  6.5平方剰余

  6.6定理79の特別な場合:ウィルソンの定理

  6.7平方剰余と非剰余の基本性質

  6.8a(modm)の位数

  6.9フェルマーの定理の逆

  6.102[p-1]のP[2]による整除性

  6.11ガウスの補題と2の2次指標

  6.12相互法則

  6.13相互法則の証明

  6.14素数性の判定

  6.15メルセンヌ数の因数,オイラーの定理

第7章 合同式の一般的性質

  7.1合同式の根

  7.2整多項式と恒等合同式

  7.3mを法とする多項式の整除

  7.4素数を法とする合同式の根

  7.5一般的な定理の応用

  7.6フェルマーの定理とウィルソンの定理のラグランジュによる証明

  7.7{1/2(p-1)}!の剰余

  7.8ウルステンホルムの定理

  7.9フォン・シュタウトの定理

  7.10フォン・シュタウトの定理の証明

第8章 合成数を法とする合同式

  8.11次合同式

  8.2高次合同式

  8.3素数のベキを法とする合同式

  8.4例

  8.5バウアーの恒等合同式

  8.6バウアーの合同式,p=2の場合

  8.7ロイデスドルフの定理

  8.8バウアーの定理からさらにわかること

  8.92[p-1]と(p-1)!のp[2]を法とする剰余

第9章 数の小数による表現

  9.1与えられた数に付随した小数

  9.2有限小数と循環小数

  9.3他の新法における数の表現

  9.4小数により定義される無理数

  9.5整除性の判定

  9.6最長の循環節をもつ少数

  9.7バシェのおもりの問題

  9.8ニムのゲーム

  9.9現れない数字がある整数

  9.10測度ゼロの場合

  9.11現れない数字がある小数

  9.12正規数

  9.13ほとんどすべての数が正規であることの証明

第10章 連分数

  10.1有限連分数

  10.2連分数の中間近似分数

  10.3正の商を持つ連分数

  10.4単純連分数

  10.5既約分数の単純連分数表示

  10.6連分数アルゴリズムとユークリッドのアルゴリズム

  10.7連分数とその中間近似分数の差

  10.8無限単純連分数

  10.9無理数の無限連分数表示

  10.10補題

  10.11対等な数

  10.12循環連分数

  10.13いくつかの特別な2次根数

  10.14フィボナッチ数列とリュカ数列

  10.15中間近似分数による近似

第11章 無理数の有理数による近似

  11.1問題提起

  11.2問題に関する概論

  11.3ディリクレの議論

  11.4近似の位数

  11.5代数的数と超越数

  11.6超越数の存在

  11.7リューヴィルの定理と超越数の構成

  11.8任意の無理数に対する最良近似の限界

  11.9連分数の中間近似分数に関するもう1つの定理

  11.10有界な商を持つ連分数

  11.11近似に関するより進んだ定理

  11.12同時近似

  11.13eの超越性

  11.14πの超越性

第12章 k(1),k(i),k(ρ)における整数論の基本定理

  12.1代数的数と代数的整数

  12.2有理整数,ガウス整数,k(ρ)の整数

  12.3ユークリッドのアルゴリズム

  12.4k(1)における基本定理へのユークリッドのアルゴリズムの応用

  12.5ユークリッドのアルゴリズムと基本定理への歴史的注意

  12.6ガウス整数の性質

  12.7k(i)の素数

  12.8k(i)における整数論の基本定理

  12.9k(ρ)の整数

第13章 ディオファントス方程式

  13.1フェルマーの最終定理

  13.2方程式x[2]+y[2]=z[2]

  13.3方程式x[4]+y[4]=z[4]

  13.4方程式x[3]+y[3]=z[3]

  13.5方程式x[3]+y[3]=3z[3]

  13.6有理数を有理数の3乗の和で表すこと

  13.7方程式x[3]+y[3]+z[3]=t[3]

第14章 2次体(1)

  14.1代数体

  14.2代数的数と代数的整数,原子多項式

  14.3一般の2次体k([ルートm])

  14.4単数と素数

  14.5k([ルート2])の単数

  14.6基本定理が成り立たない体

  14.7虚ユークリッド体

  14.8実ユークリッド体

  14.9実ユークリッド体(続き)

第15章 2次体(2)

  15.1k(i)の素数

  15.2k(i)におけるフェルマーの定理

  15.3k(ρ)の素数

  15.4k([ルート2])とk([ルート5])の素数

  15.5リュカによるメルセンヌ数M4n+3の素数判定

  15.62次体の整数論についての一般的注意

  15.72次体のイデアル

  15.8他の体

第16章 数論的関数φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)

  16.1関数φ(n)

  16.2定理63の別証明

  16.3メービウス関数

  16.4メービウスの反転公式

  16.5別の反転公式

  16.6ラマヌジャンの和の評価

  16.7関数d(n)とσk(n)

  16.8完全数

  16.9関数r(n)

  16.10r(n)に対する公式の証明

第17章 数論的関数の母関数

  17.1ディリクレ級数による数論的関数の生成

  17.2ゼータ関数

  17.3ζ(s)のs→1のときの挙動

  17.4ディリクレ級数の積

  17.5いくつかの特別な数論的関数の母関数

  17.6メービウスの公式の解析的解釈

  17.7関数Λ(n)

  17.8その他の母関数の例

  17.9r(n)の母関数

  17.10別の種類の母関数

第18章 数論的関数の大きさの位数

  18.1d(n)の位数

  18.2d(n)の平均位数

  18.3σ(n)の位数

  18.4φ(n)の位数

  18.5φ(n)の平均位数

  18.6無平方数の個数

  18.7r(n)の位数

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